Unüberwachtes Lernen mit MNIST: Eine Einführung in die Dimensionsreduktion und Clusteranalyse

Einführung in das unüberwachte Lernen mit MNIST

Der MNIST-Datensatz (Modified National Institute of Standards and Technology) ist ein Klassiker im maschinellen Lernen. Er enthält handgeschriebene Ziffern, die oft für überwachtes Lernen genutzt werden. In dieser Aufgabe geht es jedoch um unüberwachtes Lernen: Wir haben 3000 Bilder der Ziffern 5, 6 und 7, jedes mit 784 Pixeln (28x28). Das Ziel ist, Muster zu erkennen, ohne die Labels zu verwenden. Stell dir vor, du bekommst eine Sammlung von Musikstücken – ohne Titel oder Künstler – und sollst sie nach Stil sortieren. So ähnlich arbeiten Algorithmen des unüberwachten Lernens.

Warum unüberwachtes Lernen?

In Zeiten von KI-Trends wie ChatGPT oder selbstfahrenden Autos ist unüberwachtes Lernen entscheidend, um Strukturen in riesigen Datenmengen zu finden. Zum Beispiel nutzen Streamingdienste wie Spotify Clusteranalyse, um Playlists zu erstellen, ohne dass jeder Song manuell getaggt werden muss. Auch in der Finanzwelt werden Anomalieerkennung und Dimensionsreduktion eingesetzt, um Betrug zu erkennen oder Risiken zu modellieren.

Der MNIST-Datensatz: Aufbau und Einlesen

Die Datei digit.txt enthält 3000 Zeilen und 785 Spalten. Die erste Spalte ist das Label (5,6 oder 7), die restlichen 784 sind die Graustufenwerte der Pixel (0-255). Für unüberwachtes Lernen ignorieren wir die Labels zunächst. In R kannst du die Daten so einlesen:

data <- read.table("digit.txt", header = FALSE)
labels <- data[,1]
features <- data[,-1]

Beachte: Die Daten sind nicht normalisiert. Pixelwerte liegen zwischen 0 und 255. Oft ist es hilfreich, auf 0-1 zu skalieren:

features <- features / 255

Dimensionsreduktion mit PCA

Die Hauptkomponentenanalyse (PCA) ist eine der bekanntesten Methoden zur Dimensionsreduktion. Sie findet die Richtungen (Hauptkomponenten), in denen die Varianz der Daten maximal ist. Stell dir vor, du betrachtest eine Punktwolke im 784-dimensionalen Raum – PCA projiziert die Daten auf eine niedrigerdimensionale Ebene, die die wichtigsten Unterschiede erhält.

In der Praxis: Wenn du 784 Pixel hast, sind viele Pixel korreliert (z.B. Hintergrundpixel). PCA reduziert die Dimension auf z.B. 50 oder 100, ohne zu viel Information zu verlieren. Das ist besonders nützlich, um Rechenzeit zu sparen oder Daten zu visualisieren.

PCA in R durchführen

pca_result <- prcomp(features, center = TRUE, scale. = FALSE)
# Varianz der Komponenten
summary(pca_result)
# Die ersten beiden Hauptkomponenten extrahieren
pc1 <- pca_result$x[,1]
pc2 <- pca_result$x[,2]

Ein Scree-Plot zeigt dir, wie viele Komponenten sinnvoll sind:

plot(pca_result$sdev^2, type = "b", main = "Scree-Plot", xlab = "Komponente", ylab = "Varianz")

Oft sieht man einen „Ellbogen“ – ab da ist der Zuwachs an erklärter Varianz gering. Für MNIST reichen oft 50-100 Komponenten, um 90% der Varianz zu erklären.

Visualisierung der ersten beiden Hauptkomponenten

plot(pc1, pc2, col = labels, pch = 19, main = "PCA: Erste zwei Hauptkomponenten")
legend("topright", legend = c("5","6","7"), col = 1:3, pch = 19)

Du wirst sehen, dass die Ziffern 5,6,7 sich in diesem 2D-Raum teilweise überlappen, aber Cluster bilden. Das ist ein erster Hinweis auf Trennbarkeit.

Clusteranalyse mit k-Means

Nach der Dimensionsreduktion können wir k-Means anwenden, um die Daten in Gruppen zu teilen. k-Means sucht k Zentren (Clusterzentren) und weist jedem Punkt das nächste Zentrum zu. Die Anzahl der Cluster muss vorgegeben werden – hier wissen wir, dass es drei Ziffern gibt, also k=3.

Ein aktuelles Beispiel: In der Finanzanalyse werden Kunden oft in Cluster eingeteilt (z.B. risikoavers, risikofreudig), um maßgeschneiderte Produkte anzubieten. Ähnlich wie bei MNIST sucht man nach natürlichen Gruppen.

k-Means in R

set.seed(123) # für Reproduzierbarkeit
kmeans_result <- kmeans(features, centers = 3, nstart = 25)
# Clusterzuordnung
cluster_assignments <- kmeans_result$cluster
# Vergleich mit echten Labels (nur zur Bewertung)
table(cluster_assignments, labels)

Du wirst sehen, dass die Cluster nicht perfekt mit den Ziffern übereinstimmen – das ist typisch für unüberwachtes Lernen. Manchmal werden 5 und 6 vermischt, weil sie ähnliche Formen haben (runde Oberteile).

Verbesserung: k-Means auf PCA-reduzierten Daten

Oft liefert k-Means auf den ersten 50 Hauptkomponenten bessere Ergebnisse, da Rauschen reduziert wird:

features_pca <- pca_result$x[,1:50]
kmeans_pca <- kmeans(features_pca, centers = 3, nstart = 25)
table(kmeans_pca$cluster, labels)

Weitere Methoden: t-SNE und hierarchisches Clustering

t-SNE (t-distributed Stochastic Neighbor Embedding) ist eine beliebte Methode zur Visualisierung hochdimensionaler Daten. Es bewahrt lokale Nachbarschaften und erzeugt oft beeindruckende 2D-Plots, in denen Cluster klar getrennt sind. Allerdings ist t-SNE nicht deterministisch und kann je nach Parametern variieren.

library(Rtsne)
set.seed(42)
tsne_result <- Rtsne(features, perplexity = 30, theta = 0.5)
plot(tsne_result$Y, col = labels, pch = 19, main = "t-SNE von MNIST")

Hierarchisches Clustering (z.B. mit Ward-Methode) erstellt einen Baum (Dendrogramm) und erlaubt, die Clusterstruktur auf verschiedenen Ebenen zu betrachten. Für 3000 Punkte ist es rechenintensiv, daher oft nur auf einer Stichprobe anwendbar.

sample_idx <- sample(1:3000, 500)
hc <- hclust(dist(features[sample_idx,]), method = "ward.D2")
plot(hc, labels = labels[sample_idx], main = "Hierarchisches Clustering (500 Stichprobe)")

Interpretation und Fallstricke

Unüberwachtes Lernen ist mächtig, aber erfordert Vorsicht. Die Ergebnisse hängen stark von der Normalisierung, der Anzahl der Cluster und der Wahl der Methode ab. Ein häufiger Fehler ist, k-Means mit k=3 zu verwenden, obwohl die Daten vielleicht 4 oder 2 natürliche Gruppen haben. Daher solltest du immer mehrere Methoden vergleichen und die Ergebnisse mit Domänenwissen interpretieren.

Im Kontext der MATH38161 Assessment 1 sollst du zeigen, dass du die Konzepte verstehst und anwenden kannst. Konzentriere dich auf die Begründung deiner Entscheidungen: Warum PCA? Warum k=3? Welche Vor- und Nachteile haben die Methoden?

Fazit

Der MNIST-Datensatz eignet sich hervorragend, um Dimensionsreduktion und Clusteranalyse zu üben. Mit PCA reduzierst du die Komplexität, mit k-Means findest du Gruppen. Diese Techniken sind Grundlage vieler KI-Anwendungen, von der Bilderkennung bis zur Marktsegmentierung. Probiere selbst aus: Experimentiere mit verschiedenen Anzahlen von Hauptkomponenten und Clustern, und beobachte, wie sich die Ergebnisse ändern. Viel Erfolg bei deiner Abgabe!